0.6.0★N!220710
과도현상/문제RL/문제RC
그림의 R-L 직렬회로에서 전압인가시 과도현상에 대해 구하라
(1) 전류식 (2) 시정수 (3) 전압식(EL, ER)
R-L직렬회로에서 t=0[sec]에서 스위치를 닫았을 때, t=t1[sec]에서 회로에 흐르는 전류를 구하시오. (단, 직류전압 E [V], 저항 R [Ω], 인덕턴스 L[H])
KVL 방정식
\[ R i(t)+L\frac{ di(t)}{dt }=E \]
전류에 대한 미분방정식으로 정리
\[ L \frac{ di(t)}{dt }+ R i(t)=E \]
미분방정식의 해
1) 과도해
\[ L \frac{ di(t)} {dt }+R i(t)=0 \]\[\to \frac{ di(t)}{dt }+\frac{ R}{L } i(t)=0\cdot\cdot\cdot(1)식 \]
미분방정식의 일반해
\[i_t(t) =A e ^{st} 를 (1)식에 일반해 대입 \]
\[ \frac{ d} {dt } (A e^{st} )+\frac{ R}{L } (A e ^{st} )=0\]
\[ \to s \times A \times e^{st}+ A\frac{ R} {L } e^{st}\]
\[=A e^{st} (s + \frac{ R}{L }) =0 \]
\[e^{st} \ne 0 이므로 ( s+ \frac{ R} {L} ) =0 \]
\[ ∴ s=-\frac {R} {L}\]
2) 정상해
\[ i_s (t) = \frac{ E}{ R} \]
(t->∞되면, 코일은 단락되어 전류는 저항에 의하여 제한)
전류방정식
\[ i(t)=i_s (t) + i_t (t) = \frac{ E} {R } +A e ^{- \frac{ R} {L }t } \]
\[ \to 초기조건 : i(0)=0[A] \]
조건에서 주어지지 않았지만 0으로 봐도 무관하다.
\[ i(0)=\frac {E}{R} +Ae ^{- \frac{R}{L} 0}=0 \]\[A=-\frac{E}{R}\]
\[ ∴ i(t)= \frac{ E} {R } – \frac{ E}{R } e ^{- \frac{ R}{L }t } = \frac{ E}{ R}(1-e^{- \frac{ R}{L }t} ) [A] \]
전압 방정식
- 저항에 걸리는 전압
\[ E_R=Ri(t)=R\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t}))|_{t=0} \]
\[=E(1-e^{-\frac{R}{L}t})[V]\]
- 인덕턴스에 걸리는 전압
\[ E_L=L\frac{dt(t)}{dt}=L\frac{d}{dt}(\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t}))\]\[=Ee^{-\frac{R}{L}t}[V]\]
시정수: t=0인 시점에서 전류의 기울기
\[ \frac{d i(t)} {dt} |_{t=0} =\frac{ E} { R} \times \frac{ R}{ L} \times e^ {- \frac{ R} { L}0}= \frac{ E}{L } \]
\[ \frac{ E}{L }= \frac{ \frac{ E}{ R} }{\tau } \to ∴ \tau = \frac{ L}{R } [sec]\]
… 충전시 63.2%에 도달하는 시간
… 방전시에는 36.8%에 도달하는 시간
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