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정전계✦

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정전계

https://namu.wiki/w/전기장

1.쿨롱의 법칙

두 점전하 사이에 작용하는 힘의 크기

\[F=QE[N]\]
\[ F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{\epsilon_s r^2}[N] =9\times 10^9 \times \frac{Q_1Q_2}{\epsilon_s r^2}\]
Q : 전하 E: 전계 r : 거리
\[ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}=9 \times 10^9\]

진공중의 유전율(ε₀)

\[ \epsilon_0 = \frac{1}{\mu_0 C^2}=\frac{1}{36\pi\times 10^9}\]\[=8.855\times 10^{-12} [F/m]\]

두 점전하 사이에 작용하는 힘(F)
두 전하(Q)의 곱에 비례하고
두 전하의 거리(r) 제곱에 반비례

같은 전하 사이에는 반발력(+),
다른전하 사이에 흡인력(-)이 작용

2.전계(E)

전계와 전위차⁕

전계와 정전계

전계(전장, 전기장) : 전기력선이 미치는 공간

정전계 : 전계 에너지가 최고로 되는 전하 분포의 전계

전계의 세기 (점전하)

크기 : 전계 내의 임의의 한 점에 단위전하 +1[C]를 놓았을때 작용하는 힘의 세기

\[ E=\frac{F}{Q}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{V}{r}=9\times 10^9\frac{V}{r}=-\nabla V\]
\[E=\frac{Q}{4\pi\epsilon r^2}[N] =9\times 10^9 \times \frac{Q}{r^2}\]
[V/m=A·Ω/m=N/C]

방향 : 점전하에 의해 단위 전하가 받는 힘의 방향

전계(E)의 표현

(1)힘(F)

\[ E=\frac{F}{Q} \]

(2)전위(V)

\[ E=-\nabla V=\frac{V}{r}\]

(3)전기력선수(N)

\[ E=\frac{N}{S'[m^2]}\]

(4)전속밀도(D)

\[E=\frac{D}{\epsilon}\]

한개의 점전하에 의한
전계의 세기

전계의세기 전계내의 임의의 한점에 단위전하 +1[C] 을 놓았을때 
이에 작용하는 힘

\[ F=E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q\times 1}{r^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\]

복수개의 점전하에의한
전계의 세기

각 점전하에 의한 전계를 구하여 벡터적으로 합성

\[E=E_1+E_2\]\[=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{r_1^2}r_{01}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{r_2^2}r_{02}\]

두개의 점전하에 의해
전계의 세기가 0이되는점

(1)두전하의 극성이 동일한경우
전계의 세기가 0이 되는 점은 두 점전하 사이에 존재

\[ \frac{Q_a}{4\pi\epsilon_0x^2}=\frac{Q_b}{4\pi\epsilon_0(r-x)^2}\]

(2)두전하의 극성이 다른경우
전계의 세기가 0이 되는 점은 전하의 절대값이 작은 측의 외측에 존재

\[\frac{Q_a}{4\pi\epsilon_0(r+x)^2}=\frac{Q_b}{4\pi\epsilon_0x^2}\]

3.전기력선

전기력선수

\[N=\frac{Q}{\epsilon_0}\text{ 개(공기)}\] \[N=\frac{Q}{\epsilon}\text{ 개(유전체)}\]

전기력선의 성질

1. +전하에서 출발하여 -전하에서 멈추거나
무한원까지 퍼진다.

2. 전기력선의 방향은 전계의 방향(전기력선의 접선방향)과 일치한다.
전기장의 방향은 접선 방향이다

3. 전기력선 밀도는 그점에서의 전위의 세기와 같다
(가우스의 정리 : 전기력선 밀도 N/S=전계의세기 E[V/m])

4. 전기력선은 전위가 높은곳에서 낮은곳으로 향한다
(E=-grad V)

5. 전기력선은 자신만으로 폐곡선이 되는일을 없다
(∇∙E= 0 불연속)

6. 두개의 전기력선은 서로 교차하지 않는다
(∇× E= 0)

7. 전하가 없는곳에서는 전기력선의 발생과 소멸이 없고 연속적이다

8. 전기력선은 도체 표면에서 수직으로 출입한다
도체 내부에는 존재하지 않는다

9. 매질 중 Q[C]에서 발생하는 전기력선의 총수는 Q/ε 개다
(공기나 진공중 Q/ε₀ )

10. 전기력선은 등전위면과 직교한다
(단 전계가 0인곳에서는 이 조건이 성립되지 않는다)

전기력선 방정식 

\[\frac{dx}{E_x}=\frac{dy}{E_y}=\frac{dz}{E_z}\]
  • 전계의 방향의 부호가 같은 경우 y=Ax (직선)
  • 전계의 방향의 부호가 다른 경우 xy=A (쌍곡선)

4.전위(V:전기적인 위치에너지)

전압 전위✶

전위(V)

무한원점에 있는 1[C]에 전하를 전계와 반대 방향으로 무한원점으로부터 임의 점까지 운반하는 데 필요한 일의 양

\[ V_P=-\int_∞^PE\cdot dl\]\[=\frac{W}{Q}=\frac{F\cdot r}{Q}=Er \] \[=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}=9\times 10^9 \times \frac{Q}{r}[V]\]

전계와 전위 :

\[E=-∇V=-grad V[V/m]\]

전계의 크기는 전위경도의 크기와 같고 방향은 반대

전위차

점전하 Q[C]에서 r₁,r₂떨어진 두점 A,B사이의 전위차(r₂>r₁)

\[ V_{AB}=V_A-V_B=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})[V] \]

폐회로 또는 등전위면을 일주할때 전계가 하는 일은 항상 0 이다.

등전위 면의 성질

1.등전위면은 폐곡면이고 전기력 선과 수직으로 교차한다
2.다른 전위의 등전위면은 서로 교차하지 않는다.
3.전하는 등전위면에 직각으로 이동하고 등전위면의 밀도가 높으면 전기장의 세기도 크다
4.등전위면에서 하는 일은 항상 0 이다.

5.전하분포

도체의 성질

1.도체 내부 전계의 세기는 0이다

2.도체는 등전위이고 그 표면은 등전위면이다

3.도체표면에만 전하가 분포되고 도체 면에서의 전계는 도체표면에 항상 수직이다.

4.도체 표면에서 전하밀도는 곡률이 클수록 (뽀죡할수록)곡률 반경은 작을수록 높다

5.중공부에 전하가 없는 도체는 도체 외부의 표면에만 분포한다

정전차폐(완전차폐)

임의의 도페를 일전한 전위(영전위)의 도체로 완전 포위하여 내의 공간의 전계를 완전히 차단하는 현상

6.전속(Ψ)

전하의 이동선을 가상적으로 그린 선이다
전속은 매질에 상관없이 항상 일정하며 전하 Q[C]와 같다

전속밀도(D 전하표면밀도, 전기변위)

\[ D=\frac{Q}{S}=\frac{Q}{4\pi r^2}=\epsilon E[C/m^2]\]

7.전속밀도및 전계세기와
전하에 관한 법칙

1)전속밀도와 전하(가우스의 법칙)

(1)적분형
폐곡면에서 나오는 전 전속력의 수는 폐곡면내에 있는 전하량과 같다

\[\oint_s D\cdot dS=Q\]

(2)미분형

전속선의 발산량은 그 점에서의 체적(공간) 전하밀도 크기와 같다

\[ \rho=div D=\nabla \cdot D=\]\[\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}\]

2)전계세기와 전하(가우스의 발산 정리)

(1)적분형
폐곡선에서 나오는 전 전기력선 수는 폐곡선내에 있는 전 전하량의 1/ε배와 같다

\[\oint_s E\cdot dS=\frac{Q}{\epsilon_0}\]

(2)미분형

전기력선의 발살량은  그점에서의 체적 전하밀도의 1/ε배와 같다

\[div E=\nabla \cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}\]

전기력선수

\[ N=\int_s E ds=\int_v \nabla \cdot E dv=\frac{Q}{\epsilon_0} \]

스토크의 정리

선적분을 면적분으로 변환

\[ \int_c Edl=\int_s(\nabla\times E)ds\]

가우스의 발산정리

면적분을 체적분으로 변환

\[ \oint_s Eds =\int_v \nabla Edv \]

벡터 퍼텐셜(A)

자속밀도

\[B=rotA\]

전계

\[ E=\frac{\partial A}{\partial t} \]

자속

\[ \phi=\int_s Bds=\int_srotAds=\oint_c Adl\]

전류

\[i=∇\cdot A\]

백터 퍼텐셜

\[ A=\frac{1}{4\pi}\int_v\frac{\mu_0\cdot i}{r}dv \]

7.전계의 세기와 전위

구대전체

내부(r<a)

\[E_i=\frac{Q\ r_i}{4\pi\epsilon_0a^3}\]
\[V_i=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r} (\frac{3}{2}-\frac{r^2}{2a^2})\]

표면(r=a)

\[E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0a^2}\]
\[V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0a}\]

외부(r>a)

\[E_o=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}\]
\[V_o=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}\]

동심구체

A : Q, B : 0

\[E_{AB}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2} \]
\[ E_B=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}\]
\[V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\]
\[ V_B=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0c}\]

A : 0, B : Q

\[E_{AB}=0\]
\[ E_B=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}\]
\[V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\]
\[ V_B=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0c}\]

A : Q, B : -Q

\[E_{AB}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2} \]
\[ E_B=0\]
\[V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})\]
\[ V_B=0\]

선

무한장 원주형 대전체(직선, 원통, 축대칭, 동축케이블)

내부(r<a)표면(r=a)외부(r>a)
E\[\frac{\lambda r_1}{2\pi \epsilon_0a^2}\]\[\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0a}\]\[\frac{\lambda r_1}{2\pi \epsilon_0r}\]
V\[\frac{\lambda r_1}{2\pi \epsilon_0}\ln \frac{b}{a}\]\[\frac{\lambda r_1}{2\pi \epsilon_0}\ln \frac{r_2}{r_1}\]∞

면

무한 판상(지구)과 무한 평면 도체

무한평면(구도체, 대전도체)무한평면도체판
E\[\frac{\sigma}{\epsilon_0}\]\[\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\]

9.전기 쌍극자와 이중층

입체각

(1)전구면의 입체각 

\[\omega=\frac{4\pi r^2}{r^2}=4\pi \]

(2)반구면의 입체각 

\[\omega=\frac{2\pi r^2}{r^2}=2\pi \]

(3)반지름 a의 원 또는 원판의 중심축상x의 점P에 대하여 이루는 입체각

\[\omega=2\pi(1-\cos\theta)=2\pi(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}})\]

전기쌍극자

매우 가까운 거리(δ)에 있는 2개의 점전하를 아주 먼거리(r) 에서의 전계 계산

쌍극자 모멘트M

\[M=Q\delta[C/cdot m]\]

전위 

\[ V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})\]\[=\frac{Q\delta}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cos\theta=\frac{M}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cos\theta[V]\]

합성전계의 크기 

\[ E=E_r+E_{\theta}=\frac{\partial V}{\partial r}+\frac{\partial V}{r\partial\theta}\] \[=\frac{M\cos\theta}{2\pi\epsilon_0 r^3}a_r+\frac{M\sin\theta}{4\pi\epsilon_0r^3}a_{\theta}\]
\[ E=\frac{M}{4\pi\epsilon_0r^3}\sqrt{1+3\cos^2\theta}[V/m] \]

전기 이중층

극히 얇은 양면에 전기쌍극자가 무수히 분포되어 층을 이룬 구조

전하량

\[Q= σ S[C]\]

세기

\[M=σδ[c]\]

전기 이중층 양면의 전위차 

\[ V_{PQ}=V_P-V_Q=\pm \frac{M}{4\pi\epsilon_0}\omega [C]\]

10.전위경도 

(1)전위가 단위길이당 변화하는 정도를 전위경도라고 한다
전위경도 

\[\frac{d V}{dl}=-E\]

(2)전위경도는 전계의 시기와 크기는 같고 방향은 반대이다.
전위경도 
∇ V=grad V
전계의 세기
E=-grad V =-∇ V

12.도체의 성질과 전하분포

①도체표면과 내부의 전위는 동일하고 (등전위) 표면은 등전위면이다.
②도체 내부의 전계의 세기는 0이다
③전하는 도체 내부에는 존재하지 않고 도체 표면에만 분포한다
④도체면에서의 전계의 세기는 도체 표면에 항상 수직이다.즉 전계는 법선성분만 존재하고 접선성분은 존재하지 않는다.법선성분의 전계  

\[E_n=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\]

  접섭성분의 전계 

\[E_t=0\]

⑤도체 표면에서의 전하밀도는 곡률이 클수록(뽀족할수록)높다
⑥중공부에 전하가 없고 대전 도체라면 전하는 도체외부아 표면에만 분포한다

13.정전응력

\[f=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2=\frac{D^2}{2\epsilon_0}=\frac{D^2}{2\epsilon_0}=\frac{\sigma^2}{2\epsilon_0}\]
0.벡터
1.진공 중의 정전계
2.진공중의 도체계
3.유전체
4.전기영상법
5.전류
6.정자계
7.자기회로(자성체)
8.인덕턴스,전자유도
9.전자계

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