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정전용량, 콘덴서
1.도체계의 계수
도체가 놓여 있는 매질, 도체 모양, 크기, 간격, 배치상태에 따라 달라진다.
| 구분 | \[ 전위계수(P_{11},P_{22},P_{12},P_{21}) \] |
| 공식 | \[도체1전위 V_1=P_{11}Q_1+P_{12}Q_2 \] \[도체2전위V_2=P_{21}Q_1+P_{22}Q_2 \] |
| 성질 | ∙전위계수 \[V=\frac{1}{C}=\frac{V}{Q}\] ∙단위 : darad, 엘라스틴 \[P_11=P_21 (정전차폐)\] 도체 2가 도체1속에 있다. \[P_{rr}>0, P_{rr}\ge P_{rs}, P_{rs}=P_{sr}\] |
| 구분 | \[용량계수(q_{11},q_{22}), 유도계수(q_{12},q_{21}\] |
| 공식 | \[도체1전하 Q_1=q_{11} V_1+q_{12}V_2\] \[도체2전하 Q_2=q_{21} V_1+q_{22}V_2\] |
| 성질 | \[용량계수 q_{rr}=C=\frac{Q}{V}\] 단위 : F \[q_{rr}>0, q_{rs}=q_{sr}\le 0\] |
2.정전용량의 계산
정전용량
\[ C=\frac{Q}{V}[F] \]
도체구
\[ C=\frac{Q}{V}=4\pi \epsilon_0 a [F] \]
동심구
동심구 사이(외구 접지된 경우)
\[ C_{ab}=\frac{4\pi\epsilon}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}[F]\]
동심구 전체의 정전용량(기타 조건 없는 경우)
\[ C=\frac{4\pi\epsilon}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}[F] \]
동축 원통 도체
\[ C_{ab}=\frac{2\pi\epsilon}{\ln\frac{b}{a}}[\mu F/km]\]
(2)평행판도체에서의 정전용량
\[ C=\frac{\epsilon_0}{d}S [F]\]
평행원통도체(평행 전선)
\[ C_{ab}=\frac{\pi\epsilon}{\ln\frac{d-a}{a}}=\frac{\pi\epsilon}{\ln\frac{d}{a}}[F/m]\]
가공전선과 대지
\[ C_a=\frac{2\pi\epsilon_0}{\ln\frac{2h}{a}}[F/m]\]
4.콘덴서의 접속
| 특징 | 직렬 |
| 합성정전용량 | \[ C=\frac{Q}{V}=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}[F] \] 저항의 병렬접속과 동일 콘덴서의 수가 증가하면 정전용량은 감소 |
| 전하량 (전압) | 각 콘덴서의 전하량 동일 |
| 전압의 분배 | \[V=V_1+V_2[V], \frac{1}{C_0}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\] \[V_1=\frac{Q}{C_1}=\frac{C_0}{C_1}V, V=\frac{C_2}{C_1+C_2}V[V]\] \[V_2=\frac{Q}{C_2}=\frac{C_0}{C_2}V, V=\frac{C_1}{C_1+C_2}V[V]\] |
| 기타 | 동일 내압 : 정전용량이 제일 작은 것 다른 내압 : 전하량이 제일 작은것 |
| 특징 | 병렬 |
| 합성정전용량 | \[ C=\frac{Q}{V}=C_1+C_2[F]\] 저항의 직렬접속과 동일 콘덴서의 수가 증가하면 정전용량은 증가 |
| 전하량 (전압) | 각 콘덴서의 충전전압은 증가 |
| 전하의 분배 | \[Q=Q_1+Q_2[C]\] \[Q_1=C_1V=\frac{C_1}{C_1+C_2}Q[C]\] \[Q_2=C_2V=\frac{C_2}{C_1+C_2}Q[C]\] |
콘덴서의 파괴순서
같은내압 : 정전용량이 제일 작은 콘덴서
다른내압 : 전하량이 제일 작은 콘덴서
5.정전 에너지
\[ W=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}CV^2=\frac{Q^2}{2C}[J]\]
6.정전 에너지 밀도
단위체적당 축적되는 에너지
\[ \omega =\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}\epsilon E^2=\frac{D^2}{2\epsilon}[J/m^3]\]
단위면적당 정전력
\[ f=\omega=\frac{F}{S}=\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}\epsilon E^2=\frac{D^2}{2\epsilon}[N/m^2]\]
8.정전에너지 밀도
(1)평행판 콘덴서의 정전에너지
\[ W=\frac{1}{2}QV^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{\epsilon S}{d}=\frac{Q^2}{2C}\]
(2)단위체적당 축적되는 정전에너지(정전에너지 밀도)
(3)진공내에서 전위함수 V 로 주어질 때 공간에 저축되는 에너지
\[ W=\int_v\frac{1}{2}\epsilon_0E^2dv=\frac{1}{2}\epsilon_0\int_v|-gradV|^2dv\]
9.정전응력
1)도체표면에 작용하는 정전응력
\[ f=\frac{\sigma^2}{2\epsilon_0}=\frac{D^2}{2\epsilon_0}=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2\]
2)반지름 a 인 구도체 표면에 작용하는 응력
\[ f=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2=\frac{1}{2}\epsilon_0(\frac{Q}{4\pi\epsilon_0a^2})^2=\frac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0a^4}\]
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