대칭 좌표법

대칭 좌표법

대칭좌표법의 개념

3상 불평형 전압 및 전류는 각각 정상분, 역상분, 영상분의 3종류의 대칭성분으로 분해가 가능하며, 이를 이용하여 3상 불평형 해석을 함

대칭좌표법은 불평형 고장해석을 위해서 주로 사용됨

1)정상분

상회전 방향이 a-b-c로 발전기 유기기전력과 상회전 방향이 동일한 성분으로 평형 대칭성분

2)역상분

상회전 방향이 a-c-b로 발전기 유기기전력의 상회전 방향과 반대인 성분으로 평형 대칭성분

3)영상분

크기 및 위상이 동일한 성분

\[I_a=I_0+I_1+I_2\] \[I_b=I_0+a^2I_1+aI_2\] \[I_c=I_0+aI_1+a^2I_2\]

\[V_a=V_0+V_1+V_2\] \[V_b=V_0+a^2V_1+aV_2\] \[V_c=V_0+aV_1+a^2V_2\]

\[I_0=\frac{1}{3}(I_a+I_b+I_c)\] \[I_1=\frac{1}{3}(I_a+aI_b+a^2I_c)\] \[I_2=\frac{1}{3}(I_a+a^2I_b+aI_c)\]

\[V_0=\frac{1}{3}(V_a+V_b+V_c)\] \[V_1=\frac{1}{3}(V_a+aV_b+a^2V_c)\] \[V_2=\frac{1}{3}(V_a+a^2V_b+aV_c)\]

\[V_0=\frac{1}{3}(V_a+V_b+V_c),I_0=\frac{1}{3}(I_a+I_b+I_c)\] \[V_1=\frac{1}{3}(V_a+aV_b+a^2V_c),I_2=\frac{1}{3}(I_a+a^2I_b+aI_c)\] \[V_2=\frac{1}{3}(V_a+a^2V_b+aV_c),I_2=\frac{1}{3}(I_a+a^2I_b+aI_c)\]

\[ \left|\begin{matrix}I_a\\I_b\\I_c\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}1\ \ 1\ \ 1\\1\ \ a^2\ \ a\\1\ \ a\ \ a^2\end{matrix}\right|\left|\begin{matrix}I_0\\I_1\\I_2\end{matrix}\right| \]

\[ \left|\begin{matrix}I_0\\I_1\\I_2\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix}1\ \ 1\ \ 1\\1\ \ a^2\ \ a\\1\ \ a\ \ a^2\end{matrix}\right|^{-1}\left|\begin{matrix}I_a\\I_b\\I_c\end{matrix}\right| \]

다음과 같은 3상 시스템에서 한상이 개방되어 부하에 전류가 흐르는 경우에 정상분, 역상분, 영상분 전류를 각각 구하여라.

a을 기준으로 대칭분을 각각 계산하면 다음과 같다.

\[I_0=\frac{1}{3}(I_a+I_b+I_c)=0[A]\] \[I_1=\frac{1}{3}(I_a+aI_b+a^2I_c)=5.78\angle -30°[A]\] \[I_2=\frac{1}{3}(I_a+a^2I_b+aI_c)=5.78\angle30°[A]\]

3상 시스템에서 1상이 개방되어 단상 시스템으로 부하를 공급하는 상태이다.

이 경우에는 영상분은 존재하지 않으며, 정상분과 역상분의 크기가 동일한 크기로 나타나서, 불평형률이 100%인 경우에 해당된다.

무부하 발전기의 대칭분 등가회로

1)정상분 임피던스와 등가회로
(Positive-sequence network)

\[E_a=V_1+I_1Z_1\] \[V_1=E_a-I_1Z_1\]

정상분 등가회로는 정상분 전류가 흐르도록 구성된 단상 등가회로를 말한다.

발전기는 평형 3상 전압을 공급하도록 설계되어 있으므로 오직 정상분의 전압만을 만들어 낸다. 그러므로 정상분 등가회로에는 기전력을 포함시킨다.

정상분 임피던스는 정상분 회로가 구성했을 때 나타나는 임피던스로 정상분 전류는 정상분 임피던스를 통해서 흐른다.

정상분 전류는 평형(120° 위상차)으로 어느 순간도 합이 0이 되어 임의의 노드에서 KCL이 성립되므로 3상 시스템에서 상도체가 Return Path(귀로)가 되므로 항상 귀로가 존재한다.

3상 시스템에서 평형 또는 불평형 상태에서 반드시 나타나는 물리량이다.

정상분 전류는 회전기에서 정방향의 회전자계를 형성한다.

2)역상분 임피던스와 등가회로
(Negative-sequence network)

\[V_2=-I_2Z_2\]

역상분 등가회로는 역상분 전류가 흐르도록 구성된 단상 등가회로를 말한다.

역상분 등가회로에는 기전력을 포함하지 않는다.

역상분 임피던스는 역상분 회로가 구성했을 때 나타나는 임피던스로 역상분 전류는 역상분 임피던스를 통해서 흐른다.

역상분 전류는 평형(120 위상차)으로 어느 순간도 합이 0이 되어 임의의 노드에서 KCL이 성립되므로 3상 시스템에서 상도체가 귀로가 되므로, 항상 귀로가 존재함.

3상 시스템에서 불평형 상태에서 반드시 나타나는 물리량이다.

역상분 전류는 회전기에서 역방향의 회전자계를 형성한다.

3)영상분 임피던스와 등가회로
(Zero-sequence network)

\[V_0=-I_0Z_0\] \[중성점 임피던스 없는 경우\] \[V_0=-I_0(Z_{g0}+3Z_{n})\] \[중성점 임피던스 존재\]

영상분 등가회로는 영상분 전류가 흐르도록 구성된 단상 등가회로를 말한다.

영상분 등가회로에는 기전력을 포함하지 않는다.

영상분 임피던스는 역상분 회로가 구성했을 때 나타나는 임피던스로 영상분 전류는 영상분 임피던스를 통해서 흐른다.

영상분 전류는 동상으로 어느 순간도 합이 0이 될 수 없어 임의의 노드에서 KCL이 성립되기 위해서는 상도체 이외의 제4의 경로가 존재해야 한다. 즉 중성선 및 중성점 접지가 되어야 영상분 전류가 존재한다.

3상 시스템에서 지락(접지)사고를 포함하지 않는 불평형 고장에서 나타나지 않는 물리량이다.

3상 영상 등가회로의 귀로에 존재하는 임피던스는 3배의 영상전류가 흐르므로 3배를 적용한다.

\[V_0=(3I_0)\times Z_n\to V_0=I_0\times (3Z_n)\]

각 요소별 대칭분의 크기

1)변압기

변압기는 누설리액턴스로 정상, 역상, 영상 임피턴스가 모두 동일하게 작용
영상분=정상분=역상분

2)선로

선로에서 영상분은 대지를 포함하므로 영상분 임피던스가 가장 큰 값
영상분>정상분=역상분

3)회전기

회전기에서는 영상분이 가장 작게 나타남
정상분>역상분>영상분

변압기의 종류에 따른 영상 등가회로

1)Y(중성점 접지)-Y

1, 2차 권선 모두 영상전류가 흐를 수 없다.
한 권선에서 영상전류가 흐를 경로가 없으면 다른 권선에서 영상전류가 흐르는 것을 막는다.
이 경우에는 영상전류가 흐르지 않아서 영상등가회로는 개방처리 한다.

2)Y(중성점 접지)-Y(중성점 접지)

두 권선 모두 영상전류가 흐를 경로가 존재하므로 영상 등가회로는 A-B측이 연결된 등가회로로 처리한다.

3)Y(중성점 접지)-△ 변압기

1차측의 중성점이 접지된 경우 1차측은 영상전류가 흐를 경로가 구성되고 그 영상전류는 △권선에 순환하는 영상전류를 유기한다.
△권선에 순환하는 영상전류는 권선 내부에만 흐르고 밖으로 빠져나가지는 못한다.
그러므로 영상 등가회로는 B선로측으로는 개방처리 한다.

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